第十章 Lyapunov稳定性理论

考虑自治系统： $$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in D \subseteq \mathbb{R}^n$$

设 $\mathbf{f}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$，即原点是平衡点。

定义10.1.1（Lyapunov稳定性）

原点称为稳定的（Stable），若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当初值满足 $\|\mathbf{x}(0)\| < \delta$ 时，对所有 $t \geq 0$ 有： $$\|\mathbf{x}(t)\| < \varepsilon$$

定义10.1.2（渐近稳定性）

原点称为渐近稳定的（Asymptotically Stable），若： 1. 它是稳定的； 2. 存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $\|\mathbf{x}(0)\| < \delta_1$ 时，$\lim_{t \to +\infty} \mathbf{x}(t) = \mathbf{0}$。

满足条件2的区域称为吸引域（Domain of Attraction）。

定义10.1.3（不稳定性）

若原点不是稳定的，则称为不稳定的（Unstable）。

定义10.1.4（全局渐近稳定性）

若原点是渐近稳定的，且吸引域为整个 $\mathbb{R}^n$，则称为全局渐近稳定。

定义10.2.1（Lyapunov函数）

设 $V: D \to \mathbb{R}$ 是连续可微函数：

1. 若 $V(\mathbf{0}) = 0$ 且 $V(\mathbf{x}) > 0$（$\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$），称 $V$ 是正定的
2. 若 $V(\mathbf{0}) = 0$ 且 $V(\mathbf{x}) \geq 0$，称 $V$ 是半正定的
3. 若 $-V$ 正定，称 $V$ 是负定的

沿系统轨线的导数： $$\dot{V}(\mathbf{x}) = \frac{dV}{dt} = \nabla V \cdot \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial V}{\partial x_i} f_i(\mathbf{x})$$

定理10.2.1（Lyapunov稳定性定理）

设 $V$ 是定义在平衡点邻域内的正定函数：

1. (i) 若 $\dot{V} \leq 0$（半负定），则原点稳定；
2. (ii) 若 $\dot{V} < 0$（负定），则原点渐近稳定；
3. (iii) 若 $\dot{V} > 0$（正定），则原点不稳定。

*证明* (i)：给定 $\varepsilon > 0$，设 $S_\varepsilon = \{\mathbf{x} : \|\mathbf{x}\| = \varepsilon\}$。令 $m = \min_{S_\varepsilon} V > 0$。由连续性，存在 $\delta > 0$ 使得当 $\|\mathbf{x}\| < \delta$ 时 $V(\mathbf{x}) < m$。

对初值 $\|\mathbf{x}(0)\| < \delta$，由于 $\dot{V} \leq 0$，有 $V(\mathbf{x}(t)) \leq V(\mathbf{x}(0)) < m$。因此 $\mathbf{x}(t)$ 不会到达 $S_\varepsilon$，即 $\|\mathbf{x}(t)\| < \varepsilon$。

定理10.2.2（Lasalle不变集原理）

设 $V$ 正定，$\dot{V} \leq 0$。令 $E = \{\mathbf{x} : \dot{V}(\mathbf{x}) = 0\}$，$M$ 是 $E$ 中最大不变集。则从有界区域内出发的轨线当 $t \to \infty$ 时趋于 $M$。

推论：若 $M = \{\mathbf{0}\}$，则原点渐近稳定。

对于线性系统 $\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}$：

定理10.3.1

1. 若 $A$ 的所有特征值实部为负，则原点全局渐近稳定；
2. 若存在实部为正的特征值，则原点不稳定；
3. 若所有特征值实部非正，且实部为零的特征值的代数重数等于几何重数，则原点稳定（但未必渐近稳定）。

例10.1：用Lyapunov方法证明上述定理的第一部分。

*解*：取 $V(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T P \mathbf{x}$，其中 $P$ 正定。则 $$\dot{V} = \mathbf{x}^T(PA + A^T P)\mathbf{x}$$

取 $P$ 满足Lyapunov方程 $PA + A^T P = -Q$，其中 $Q$ 正定。由于 $A$ 的特征值实部为负，该方程有唯一正定解 $P$。此时 $\dot{V} = -\mathbf{x}^T Q \mathbf{x} < 0$，原点渐近稳定。

对于非线性系统，常用二次型作为Lyapunov函数候选： $$V(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T P \mathbf{x}$$

例10.2：分析系统 $$\begin{cases}\dot{x} = -x + y \\ \dot{y} = -x - y^3\end{cases}$$

*解*：取 $V = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$，则 $$\dot{V} = x(-x+y) + y(-x-y^3) = -x^2 - y^4 < 0 \quad (\mathbf{x} \neq \mathbf{0})$$

因此原点全局渐近稳定。

定理10.5.1（Chetaev定理）

设 $V$ 在平衡点邻域内定义，$V(\mathbf{0}) = 0$。若存在区域 $D_1$ 使得： 1. 在 $D_1$ 内 $V > 0$ 且 $\dot{V} > 0$ 2. 在 $D_1$ 的边界上（除原点外）$V = 0$

则原点不稳定。

例10.3：证明系统 $\begin{cases}\dot{x} = x^2 + y^2 \\ \dot{y} = xy\end{cases}$ 的原点不稳定。

*解*：取 $V = xy$，在区域 $D_1 = \{(x,y): x > 0, y > 0\}$ 内 $V > 0$。

$$\dot{V} = y(x^2+y^2) + x(xy) = x^2y + y^3 + x^2y = 2x^2y + y^3 > 0$$

由Chetaev定理，原点不稳定。

定理10.6.1（全局渐近稳定性）

若存在正定函数 $V(\mathbf{x})$ 满足： 1. $\dot{V}(\mathbf{x})$ 负定 2. $V(\mathbf{x}) \to \infty$ 当 $\|\mathbf{x}\| \to \infty$（径向无界）

则原点是全局渐近稳定的。

条件2保证了轨线不会“逃逸到无穷远”。

例10.4：考虑系统 $\dot{x} = -x^3$，取 $V = x^2$。

$$\dot{V} = 2x \cdot (-x^3) = -2x^4 < 0 \quad (x \neq 0)$$

$V$ 径向无界，故原点全局渐近稳定。

定义10.7.1

原点称为指数稳定的，若存在常数 $M > 0, \alpha > 0, \delta > 0$，使得当 $\|\mathbf{x}(0)\| < \delta$ 时： $$\|\mathbf{x}(t)\| \leq M\|\mathbf{x}(0)\|e^{-\alpha t}, \quad t \geq 0$$

定理10.7.1

对于线性系统，渐近稳定性等价于指数稳定性。

例10.5：分析阻尼摆方程的稳定性 $$\ddot{\theta} + c\dot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0, \quad c > 0$$

*解*：令 $x = \theta, y = \dot{\theta}$，得： $$\begin{cases}\dot{x} = y \\ \dot{y} = -\frac{g}{l}\sin x - cy\end{cases}$$

平衡点：$(k\pi, 0), k \in \mathbb{Z}$

在 $(0, 0)$ 附近线性化，取 $V = \frac{1}{2}y^2 + \frac{g}{l}(1-\cos x)$（能量函数）： $$\dot{V} = y\dot{y} + \frac{g}{l}\sin x \cdot \dot{x} = y(-\frac{g}{l}\sin x - cy) + \frac{g}{l}\sin x \cdot y = -cy^2 \leq 0$$

由Lasalle原理，轨线趋于集合 $\{y = 0\}$。在该集合上，由原方程 $\dot{x} = 0$，$\dot{y} = -\frac{g}{l}\sin x = 0$，故 $x = k\pi$。因此轨线趋于平衡点。在 $(0,0)$ 附近，轨线趋于原点，故原点渐近稳定。

在 $(\pi, 0)$ 附近，令 $\xi = x - \pi$，则 $\sin x = -\sin\xi \approx -\xi$： $$\begin{cases}\dot{\xi} = y \\ \dot{y} = \frac{g}{l}\xi - cy\end{cases}$$

特征值：$\lambda^2 + c\lambda - \frac{g}{l} = 0$，一正一负，故为鞍点，不稳定。

习题10.1：用Lyapunov方法证明：若 $A$ 的特征值实部均为负，则系统 $\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}$ 的原点全局渐近稳定。

习题10.2：构造Lyapunov函数分析： $$\begin{cases}\dot{x} = -y - x^3 \\ \dot{y} = x - y^3\end{cases}$$

习题10.3：证明梯度系统 $\dot{\mathbf{x}} = -\nabla V(\mathbf{x})$ 的平衡点是渐近稳定的，当且仅当该点是 $V$ 的严格局部极小值点。

习题10.4：分析系统： $$\begin{cases}\dot{x} = y + ax(x^2+y^2) \\ \dot{y} = -x + ay(x^2+y^2)\end{cases}$$ 讨论参数 $a$ 对原点稳定性的影响。

习题10.5：对于Hamilton系统，证明：若能量函数 $H$ 在平衡点有严格极小值，则该平衡点是稳定的（但非渐近稳定）。