微分方程是现代数学中最重要的分支之一，它起源于17世纪牛顿和莱布尼茨创立微积分时期。从物理学中的运动定律到生物学中的种群动力学，从经济学中的增长模型到工程学中的控制系统，微分方程为描述自然现象和社会现象提供了强大的数学工具。
定义 1.1 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程(Differential Equation)。
具体来说，设 $x$ 为自变量，$y = y(x)$ 为未知函数，则形如 $F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0$ 的方程称为微分方程，其中 $F$ 是已知函数，$y', y'', \ldots, y^{(n)}$ 分别是 $y$ 对 $x$ 的一阶、二阶、…、$n$ 阶导数。
定义 1.2 如果微分方程中的未知函数只依赖于一个自变量，则称为常微分方程(Ordinary Differential Equation, ODE)。
定义 1.3 如果微分方程中的未知函数依赖于两个或更多个自变量，则称为偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)。
本课程主要研究常微分方程。
例 1.1 (常微分方程)
例 1.2 (偏微分方程)
定义 1.4 微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数称为该微分方程的阶。
例 1.3
定义 1.5 如果微分方程关于未知函数及其各阶导数都是一次的（线性的），则称为线性微分方程。否则称为非线性微分方程。
$n$ 阶线性微分方程的一般形式为： $a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)$
其中 $a_n(x) \not\equiv 0$，$a_i(x)$ ($i = 0, 1, \ldots, n$) 和 $f(x)$ 都是已知函数。
例 1.4 (线性方程)
例 1.5 (非线性方程)
定义 1.6 设函数 $y = \varphi(x)$ 在区间 $I$ 上具有 $n$ 阶连续导数，如果将 $y = \varphi(x)$ 代入 $n$ 阶微分方程 $F(x, y, y', \ldots, y^{(n)}) = 0$ 后，使之成为恒等式，即 $F(x, \varphi(x), \varphi'(x), \ldots, \varphi^{(n)}(x)) \equiv 0$ 则称 $y = \varphi(x)$ 为该微分方程在区间 $I$ 上的解。
定义 1.7 $n$ 阶微分方程的含有 $n$ 个独立的任意常数 $C_1, C_2, \ldots, C_n$ 的解 $y = \varphi(x, C_1, C_2, \ldots, C_n)$ 称为该方程的通解。
定义 1.8 通过给定通解中任意常数的特定值而得到的解称为特解。
例 1.6 验证 $y = Ce^x$ 是方程 $y' = y$ 的通解，并求满足 $y(0) = 2$ 的特解。
解： 对 $y = Ce^x$ 求导得 $y' = Ce^x = y$，故是解。该解含一个任意常数 $C$，而方程为一阶，所以是通解。
由 $y(0) = 2$ 得 $C \cdot e^0 = 2$，即 $C = 2$。
特解为 $y = 2e^x$。
定义 1.9 如果微分方程的解以 $y = \varphi(x)$ 的形式给出，则称为显式解。
定义 1.10 如果微分方程的解以 $\Phi(x, y) = 0$ 的形式给出，则称为隐式解。
例 1.7 方程 $y' = -\frac{x}{y}$ 的通解可表示为：
定义 1.11 如果微分方程存在一个解，它不能由通解通过给任意常数以特定值而得到，则称此解为奇解。
例 1.8 方程 $(y')^2 = 4y$ 的通解为 $y = (x + C)^2$，但它还有一个解 $y = 0$ 不包含在通解中，因此 $y = 0$ 是奇解。
在实际问题中，我们通常需要求满足特定条件的解。对于 $n$ 阶微分方程，通常需要 $n$ 个条件来确定唯一的解。最常见的条件形式是初值条件。
定义 1.12 对于 $n$ 阶微分方程，条件 $y(x_0) = y_0, \quad y'(x_0) = y_1, \quad \ldots, \quad y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}$ 称为初值条件或初始条件，其中 $x_0, y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}$ 是给定的常数。
定义 1.13 求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题(Initial Value Problem, IVP)或Cauchy问题。
对于一阶微分方程 $y' = f(x, y)$，初值问题 $y(x_0) = y_0$ 的几何意义是：求通过点 $(x_0, y_0)$ 的积分曲线。
$y' = f(x_0, y_0)$ 给出了积分曲线在点 $(x_0, y_0)$ 处的切线斜率。
例 1.9 求解初值问题： $y' = 2x, \quad y(1) = 3$
解： 对方程积分得 $y = x^2 + C$。
由 $y(1) = 3$ 得 $1 + C = 3$，故 $C = 2$。
特解为 $y = x^2 + 2$。
并非所有的初值问题都有解，即使有解也可能不唯一。
例 1.10 初值问题 $y' = y^{2/3}, y(0) = 0$ 有无穷多个解： $y = \begin{cases} 0, & x \leq C \\ \frac{(x-C)^3}{27}, & x > C \end{cases}$ 其中 $C \geq 0$ 为任意常数。
这引出了重要的理论问题：在什么条件下初值问题有唯一解？这个问题将在第三章详细讨论。
定义 1.14 微分方程的解 $y = \varphi(x)$ 在 $xy$ 平面上的图形称为该方程的积分曲线。
对于一阶微分方程 $y' = f(x, y)$，在定义域内每一点 $(x, y)$ 处，方程给出了积分曲线在该点的切线斜率 $f(x, y)$。
定义 1.15 在 $xy$ 平面的区域 $D$ 内，每一点 $(x, y)$ 处画一个以 $f(x, y)$ 为斜率的短线段，这样得到的图形称为微分方程 $y' = f(x, y)$ 的方向场或线素场。
通过方向场，我们可以直观地了解微分方程解的大致形态。
例 1.11 方程 $y' = x$ 的方向场由斜率为 $x$ 的线段组成。可以看到积分曲线应该是向上凸的抛物线族 $y = \frac{x^2}{2} + C$。
习题 1.1 判断下列方程的阶数，并指出是线性还是非线性的： a) $y'' + xy' + y = 0$
b) $(y')^3 + xy = 0$
c) $\frac{d^4y}{dx^4} + y = \sin x$
d) $\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2$
习题 1.2 验证下列函数是否为相应方程的解：
a) $y = Ce^{-x}$ 与 $y' + y = 0$
b) $y = x\sin x$ 与 $xy' - y = x^2\cos x$
习题 1.3 求下列方程的通解，并求满足给定初值条件的特解：
a) $y' = 3x^2, y(0) = 1$
b) $y'' = 6x, y(0) = 0, y'(0) = 1$
习题 1.4 一曲线通过点 $(1, 2)$，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求该曲线的方程。
习题 1.5 设放射性物质的衰变速率与该物质的量成正比，半衰期为 $T$ 年。若初始时刻有 $N_0$ 克该物质，建立并求解描述这一过程的微分方程。
习题 1.1
a) 二阶，线性
b) 一阶，非线性
c) 四阶，线性
d) 一阶，非线性
习题 1.2
a) 是解
b) 是解
习题 1.3
a) 通解 $y = x^3 + C$，特解 $y = x^3 + 1$
b) 通解 $y = x^3 + C_1x + C_2$，特解 $y = x^3 + x$
习题 1.4 $y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{3}$
习题 1.5 方程 $\frac{dN}{dt} = -kN$，解 $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$
本章介绍了常微分方程的基本概念：
掌握这些基本概念是学习后续各章内容的基础。特别要注意线性与非线性的区别，以及初值条件在确定特解中的作用。