格林函数（Green's function）是求解线性微分方程边值问题的重要工具。它将微分方程的解表示为积分形式，把微分运算转化为积分运算。格林函数方法在数学物理、量子力学、电磁学等领域有广泛应用。
考虑线性微分算子 $L$ 作用于函数 $u$ 的方程： $$Lu(x) = f(x) \quad (13.1)$$
定义 13.1 算子 $L$ 在给定边界条件下的格林函数 $G(x, \xi)$ 满足： $$LG(x, \xi) = \delta(x - \xi) \quad (13.2)$$
其中 $\delta(x - \xi)$ 是Dirac delta函数，满足： $$\delta(x - \xi) = \begin{cases} 0, & x \neq \xi \\ \infty, & x = \xi \end{cases}, \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - \xi) dx = 1 \quad (13.3)$$
定理 13.1 如果 $G(x, \xi)$ 是格林函数，则方程 $(13.1)$ 的解可表示为： $$u(x) = \int G(x, \xi) f(\xi) d\xi \quad (13.4)$$
证明： $$Lu(x) = L\int G(x, \xi) f(\xi) d\xi = \int LG(x, \xi) f(\xi) d\xi = \int \delta(x - \xi) f(\xi) d\xi = f(x)$$
考虑Sturm-Liouville问题： $$\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + q(x)y = -f(x) \quad (13.5)$$ $$\alpha_1 y(a) + \alpha_2 y'(a) = 0, \quad \beta_1 y(b) + \beta_2 y'(b) = 0 \quad (13.6)$$
定理 13.2 设 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 分别是齐次方程满足左、右边界条件的解，且它们在 $[a, b]$ 上线性无关（即朗斯基行列式 $W \neq 0$）。则格林函数为： $$G(x, \xi) = \begin{cases} \frac{y_1(x)y_2(\xi)}{p(\xi)W(\xi)}, & a \leq x \leq \xi \\ \frac{y_1(\xi)y_2(x)}{p(\xi)W(\xi)}, & \xi \leq x \leq b \end{cases} \quad (13.7)$$
其中 $W(\xi) = y_1(\xi)y_2'(\xi) - y_1'(\xi)y_2(\xi)$ 是朗斯基行列式。
性质 1：对称性 $$G(x, \xi) = G(\xi, x) \quad (13.8)$$ （对于自伴算子）
性质 2：连续性 $G(x, \xi)$ 在 $x = \xi$ 处连续。
性质 3：导数跃变 $$\left.\frac{\partial G}{\partial x}\right|_{x=\xi^+} - \left.\frac{\partial G}{\partial x}\right|_{x=\xi^-} = \frac{1}{p(\xi)} \quad (13.9)$$
例 13.1 求边值问题 $y'' = -f(x)$，$y(0) = y(1) = 0$ 的格林函数。
解： 齐次方程 $y'' = 0$ 的通解为 $y = c_1 + c_2 x$。
满足 $y(0) = 0$ 的解：$y_1(x) = x$
满足 $y(1) = 0$ 的解：$y_2(x) = 1 - x$
朗斯基行列式： $$W = \begin{vmatrix} x & 1-x \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -x - (1-x) = -1$$
$p(x) = 1$，所以： $$G(x, \xi) = \begin{cases} x(1-\xi), & 0 \leq x \leq \xi \\ \xi(1-x), & \xi \leq x \leq 1 \end{cases}$$
例 13.2 求 $y'' + k^2 y = -f(x)$，$y(0) = y(L) = 0$ 的格林函数（$k \neq \frac{n\pi}{L}$）。
解： 齐次解：$y = c_1 \cos kx + c_2 \sin kx$
$y_1(x)$ 满足 $y(0) = 0$：$y_1(x) = \sin kx$
$y_2(x)$ 满足 $y(L) = 0$：$y_2(x) = \sin k(L-x)$
朗斯基行列式： $$W = \begin{vmatrix} \sin kx & \sin k(L-x) \\ k\cos kx & -k\cos k(L-x) \end{vmatrix} = -k\sin kx \cos k(L-x) - k\cos kx \sin k(L-x)$$ $$= -k\sin(kx + k(L-x)) = -k\sin kL$$
格林函数： $$G(x, \xi) = \begin{cases} \frac{\sin kx \cdot \sin k(L-\xi)}{k\sin kL}, & x \leq \xi \\ \frac{\sin k\xi \cdot \sin k(L-x)}{k\sin kL}, & x \geq \xi \end{cases}$$
三维拉普拉斯算子：$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$
定义 13.2 三维自由空间格林函数满足： $$\nabla^2 G(\vec{r}, \vec{r}') = -\delta(\vec{r} - \vec{r}') \quad (13.10)$$
定理 13.3 三维自由空间格林函数为： $$G(\vec{r}, \vec{r}') = \frac{1}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.11)$$
证明概要： 在球坐标系中，当 $\vec{r} \neq \vec{r}'$ 时，$\nabla^2 G = 0$，解为 $G = \frac{A}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$。由积分 $\int \nabla^2 G dV = -1$ 确定 $A = \frac{1}{4\pi}$。
$$\nabla^2 G + k^2 G = -\delta(\vec{r} - \vec{r}') \quad (13.12)$$
出射波格林函数： $$G^{(+)}(\vec{r}, \vec{r}') = \frac{e^{ik|\vec{r} - \vec{r}'|}}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.13)$$
入射波格林函数： $$G^{(-)}(\vec{r}, \vec{r}') = \frac{e^{-ik|\vec{r} - \vec{r}'|}}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.14)$$
三维波动方程： $$\nabla^2 u - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -f(\vec{r}, t) \quad (13.15)$$
推迟格林函数： $$G_R(\vec{r}, t; \vec{r}', t') = \frac{\delta(t - t' - \frac{|\vec{r} - \vec{r}'|}{c})}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.16)$$
超前格林函数： $$G_A(\vec{r}, t; \vec{r}', t') = \frac{\delta(t - t' + \frac{|\vec{r} - \vec{r}'|}{c})}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.17)$$
二维拉普拉斯方程： $$\nabla^2 G = -\delta(\vec{\rho} - \vec{\rho}') \quad (13.18)$$
格林函数： $$G(\vec{\rho}, \vec{\rho}') = -\frac{1}{2\pi}\ln|\vec{\rho} - \vec{\rho}'| \quad (13.19)$$
电势满足泊松方程： $$\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad (13.20)$$
解： $$\phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} d^3r' \quad (13.21)$$
定态薛定谔方程： $$\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r})\right)\psi = E\psi \quad (13.22)$$
改写为： $$\left(\nabla^2 + k^2\right)\psi = U(\vec{r})\psi \quad (13.23)$$
其中 $k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$，$U = \frac{2mV}{\hbar^2}$。
利用格林函数，得到Lippmann-Schwinger方程： $$\psi(\vec{r}) = \phi(\vec{r}) + \int G^{(+)}(\vec{r}, \vec{r}')U(\vec{r}')\psi(\vec{r}')d^3r' \quad (13.24)$$
定理 13.4 如果 $\{\phi_n(x)\}$ 是算子 $L$ 的正交归一本征函数系，对应本征值 $\lambda_n$，则格林函数可展开为： $$G(x, \xi) = \sum_n \frac{\phi_n(x)\phi_n(\xi)}{\lambda_n} \quad (13.25)$$
例 13.3 用本征函数展开法求 $y'' = -f(x)$，$y(0) = y(\pi) = 0$ 的格林函数。
解： 本征值问题 $-y'' = \lambda y$，$y(0) = y(\pi) = 0$
本征值：$\lambda_n = n^2$，$n = 1, 2, 3, \ldots$
本征函数：$\phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin nx$
格林函数： $$G(x, \xi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\sin nx \sin n\xi}{\pi n^2}$$
习题 13.1 求边值问题 $y'' - y = -f(x)$，$y(0) = y'(0)$，$y(1) + y'(1) = 0$ 的格林函数。
习题 13.2 证明格林函数的对称性 $G(x, \xi) = G(\xi, x)$。
习题 13.3 验证例13.1中的格林函数满足导数跃变条件。
习题 13.4 用格林函数求解 $y'' = -1$，$y(0) = y(1) = 0$。
习题 13.5 证明二维拉普拉斯方程格林函数 $G = -\frac{1}{2\pi}\ln\rho$ 满足 $\nabla^2 G = -\delta(\vec{\rho})$。
习题 13.6 用本征函数展开法求圆域内拉普拉斯方程的格林函数。
习题 13.7 推导热传导方程的格林函数。
1. 格林函数定义：$LG = \delta(x - \xi)$
2. ODE格林函数：用齐次解构造，在 $x = \xi$ 处连续，导数有跃变
3. PDE格林函数：
4. 应用：将微分方程转化为积分方程，简化求解
1. Stakgold, I. Green's Functions and Boundary Value Problems. 2. Barton, G. Elements of Green's Functions and Propagation. 3. Jackson, J.D. Classical Electrodynamics (Chapter on Green's functions).