第十六章 本征值问题

定义 16.1（Sturm-Liouville方程） 二阶线性常微分方程 $$\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + [\lambda\rho(x) - q(x)]y = 0$$ 称为Sturm-Liouville方程，其中 $\lambda$ 为参数，$p(x), \rho(x), q(x)$ 为给定函数。

边界条件：

1. 第一类边界条件：$y(a) = 0$，$y(b) = 0$
2. 第二类边界条件：$y'(a) = 0$，$y'(b) = 0$
3. 第三类边界条件：$y'(a) - h_1y(a) = 0$，$y'(b) + h_2y(b) = 0$

Sturm-Liouville本征值问题： 求使方程有非零解的 $\lambda$ 值（本征值）及相应的非零解（本征函数）。

定理 16.1（Sturm-Liouville本征值问题的性质）

1. 本征值存在性： 存在可列无穷多个本征值

$$\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \cdots < \lambda_n < \cdots$$

且 $\lim_{n \to \infty} \lambda_n = +\infty$

2. 本征函数正交性： 对应不同本征值的本征函数带权 $\rho(x)$ 正交

$$\int_a^b y_m(x)y_n(x)\rho(x)dx = 0 \quad (m \neq n)$$

3. 本征函数完备性： 本征函数系 $\{y_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上构成完备系

定理 16.2（展开定理） 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上满足一定光滑性条件，则可按本征函数系展开 $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n y_n(x)$$ 其中系数 $$c_n = \frac{\int_a^b f(x)y_n(x)\rho(x)dx}{\int_a^b y_n^2(x)\rho(x)dx}$$

Parseval等式： $$\int_a^b f^2(x)\rho(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty} c_n^2 \int_a^b y_n^2(x)\rho(x)dx$$

例题 16.1 求解本征值问题 $$\begin{cases} y'' + \lambda y = 0 \\ y(0) = 0, \quad y(l) = 0 \end{cases}$$

解：

1. $\lambda < 0$：无非零解
2. $\lambda = 0$：无非零解
3. $\lambda > 0$：$y = A\sin\sqrt{\lambda}x + B\cos\sqrt{\lambda}x$

由 $y(0) = 0$ 得 $B = 0$ 由 $y(l) = 0$ 得 $\sin\sqrt{\lambda}l = 0$，即 $\sqrt{\lambda}l = n\pi$

本征值： $\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{l}\right)^2$（$n = 1, 2, 3, \ldots$）

本征函数： $y_n(x) = \sin\frac{n\pi x}{l}$