====== 第七章 二次型 ======

===== 7.1 二次型及其矩阵表示 =====

==== 7.1.1 二次型的定义 ====

**定义 7.1（二次型）**

设 $P$ 是一个数域，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是 $n$ 个变量，系数在 $P$ 中的**二次齐次多项式**

$$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$

称为数域 $P$ 上的 **$n$ 元二次型**，简称**二次型**。

展开形式为：

$$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + \cdots + 2a_{1n}x_1x_n + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{nn}x_n^2$$

其中 $a_{ij} = a_{ji}$（$i, j = 1, 2, \ldots, n$）。

**例 7.1** 下列哪些是二次型？

(a) $f = x_1^2 + 2x_1x_2 + 3x_2^2$

(b) $f = x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2x_3$

(c) $f = x_1^2 + x_2$

**解：** (a) 是二次型；(b) 含三次项 $x_1x_2x_3$，不是；(c) 含一次项 $x_2$，不是。

==== 7.1.2 二次型的矩阵表示 ====

令 $a_{ji} = a_{ij}$（$i < j$），则二次型可写为：

$$f = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j = X^TAX$$

其中

$$X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$

矩阵 $A$ 满足 $A^T = A$，称为**对称矩阵**。

**定义 7.2（二次型的矩阵）**

二次型 $f = X^TAX$ 中，对称矩阵 $A$ 称为该二次型的**矩阵**，$R(A)$ 称为二次型的**秩**。

**注：** 二次型与对称矩阵一一对应。

**例 7.2** 写出二次型 $f = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 4x_1x_3 + 6x_2x_3$ 的矩阵。

**解：** 对角线元素为平方项系数：$a_{11}=1, a_{22}=2, a_{33}=3$

交叉项系数平分：$a_{12}=a_{21}=1, a_{13}=a_{31}=2, a_{23}=a_{32}=3$

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$

**例 7.3** 写出对称矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ 对应的二次型。

**解：** $f = x_1^2 + 4x_2^2 + 6x_3^2 + 4x_1x_2 + 6x_1x_3 + 10x_2x_3$

===== 7.2 二次型的标准形 =====

==== 7.2.1 线性替换与合同变换 ====

**定义 7.3（线性替换）**

设 $C$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，称

$$X = CY$$

为由变量 $x_1, \ldots, x_n$ 到 $y_1, \ldots, y_n$ 的**可逆线性替换**（或非退化线性替换）。

若 $C$ 是正交矩阵，则称为**正交替换**。

将 $X = CY$ 代入 $f = X^TAX$，得：

$$f = (CY)^T A (CY) = Y^T (C^TAC) Y = Y^TBY$$

其中 $B = C^TAC$。

**定义 7.4（合同矩阵）**

设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵 $C$ 使 $B = C^TAC$，则称 $A$ 与 $B$ **合同**，记作 $A \simeq B$。

**合同关系的性质：**
  - 自反性：$A \simeq A$
  - 对称性：若 $A \simeq B$，则 $B \simeq A$
  - 传递性：若 $A \simeq B$，$B \simeq D$，则 $A \simeq D$
  - 合同矩阵的秩相等：$R(A) = R(B)$

==== 7.2.2 标准形 ====

**定义 7.5（标准形）**

只含平方项的二次型

$$f = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \cdots + d_ny_n^2$$

称为二次型的**标准形**。

**定理 7.1（标准形存在定理）**

任意二次型都可经可逆线性替换化为标准形。

即：对任意对称矩阵 $A$，存在可逆矩阵 $C$ 使 $C^TAC$ 为对角矩阵。

**化标准形的方法：**

**方法一：配方法（拉格朗日法）**

**例 7.4** 用配方法将 $f = x_1^2 + 2x_2^2 + 5x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 6x_2x_3$ 化为标准形。

**解：** 按 $x_1$ 配方：

$$f = (x_1 + x_2 + x_3)^2 + x_2^2 + 4x_3^2 + 4x_2x_3$$

$$= (x_1 + x_2 + x_3)^2 + (x_2 + 2x_3)^2$$

令：

$$\begin{cases} y_1 = x_1 + x_2 + x_3 \\ y_2 = x_2 + 2x_3 \\ y_3 = x_3 \end{cases}$$

即

$$\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$$

标准形为：$f = y_1^2 + y_2^2$

**方法二：初等变换法**

对矩阵 $\begin{pmatrix} A \\ \hline E \end{pmatrix}$ 同步进行行、列初等变换，将 $A$ 化为对角形，$E$ 变为 $C$。

**方法三：正交变换法（针对实二次型）**

**定理 7.2（主轴定理）**

任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中平方项系数就是 $A$ 的特征值。

即：对实对称矩阵 $A$，存在正交矩阵 $Q$ 使

$$Q^TAQ = Q^{-1}AQ = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$$

**正交变换法步骤：**

1. 写出二次型矩阵 $A$

2. 求 $A$ 的特征值

3. 对每个特征值求特征向量并正交单位化

4. 以单位特征向量为列构成正交矩阵 $Q$

5. 令 $X = QY$，则 $f = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2$

**例 7.5** 用正交变换将 $f = 2x_1^2 + 5x_2^2 + 5x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_1x_3 - 8x_2x_3$ 化为标准形。

**解：** 矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

$|A - \lambda E| = -(\lambda-1)^2(\lambda-10) = 0$

特征值：$\lambda_1 = \lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = 10$

$\lambda = 1$：特征向量 $\xi_1 = (-2, 1, 0)^T$，$\xi_2 = (2, 0, 1)^T$

正交化：$\eta_1 = (-2, 1, 0)^T$，$\eta_2 = (2, 4, 5)^T/5$

单位化得：$q_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2, 1, 0)^T$，$q_2 = \frac{1}{3\sqrt{5}}(2, 4, 5)^T$

$\lambda = 10$：$\xi_3 = (1, 2, -2)^T$，单位化 $q_3 = \frac{1}{3}(1, 2, -2)^T$

$$Q = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{2}{3\sqrt{5}} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{4}{3\sqrt{5}} & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{5}{3\sqrt{5}} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$$

标准形：$f = y_1^2 + y_2^2 + 10y_3^2$

===== 7.3 惯性定理与规范形 =====

==== 7.3.1 惯性定理 ====

**定理 7.3（惯性定理/西尔维斯特惯性定律）**

设实二次型 $f = X^TAX$ 的秩为 $r$，若经两个不同的可逆线性替换化为标准形：

$$f = d_1y_1^2 + \cdots + d_py_p^2 - d_{p+1}y_{p+1}^2 - \cdots - d_ry_r^2$$

$$f = k_1z_1^2 + \cdots + k_qz_q^2 - k_{q+1}z_{q+1}^2 - \cdots - k_rz_r^2$$

其中 $d_i > 0$，$k_i > 0$，则 $p = q$。

**定义 7.6（惯性指数）**

实二次型的标准形中：
  - **正惯性指数**：正平方项的个数 $p$
  - **负惯性指数**：负平方项的个数 $r-p$
  - **符号差**：$p - (r-p) = 2p - r$

==== 7.3.2 规范形 ====

**定义 7.7（规范形）**

形如

$$f = z_1^2 + \cdots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \cdots - z_r^2$$

的二次型称为**规范形**。

**定理 7.4（规范形唯一性）**

任意实二次型都可经可逆线性替换化为唯一的规范形。

**推论：** 两个实二次型合同的充要条件是它们有相同的秩和相同的正惯性指数。

===== 7.4 正定二次型 =====

==== 7.4.1 正定二次型的定义 ====

**定义 7.8（正定二次型）**

设 $f = X^TAX$ 是实二次型，若对任意 $X \neq 0$，都有 $f > 0$，则称 $f$ 为**正定二次型**，$A$ 为**正定矩阵**。

类似可定义：
  - **负定**：$X \neq 0$ 时，$f < 0$
  - **半正定**：$X \neq 0$ 时，$f \geq 0$
  - **半负定**：$X \neq 0$ 时，$f \leq 0$
  - **不定**：$f$ 既可正又可负

==== 7.4.2 正定二次型的判别 ====

**定理 7.5（正定的等价条件）**

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，下列条件等价：

1. $A$ 是正定矩阵（$f = X^TAX$ 正定）

2. $A$ 的正惯性指数为 $n$（即规范形为 $y_1^2 + \cdots + y_n^2$）

3. $A$ 的特征值全为正数

4. 存在可逆矩阵 $C$ 使 $A = C^TC$

5. $A$ 的各阶顺序主子式全大于零：

$$\Delta_1 = a_{11} > 0, \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} > 0, \quad \ldots, \quad \Delta_n = |A| > 0$$

**定理 7.6（负定的等价条件）**

$A$ 负定 $\Leftrightarrow$ $(-A)$ 正定

负定的顺序主子式判别：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。

**例 7.6** 判别二次型 $f = 5x_1^2 + x_2^2 + 5x_3^2 + 4x_1x_2 - 8x_1x_3 - 4x_2x_3$ 是否正定。

**解：** 矩阵 $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -4 & -2 & 5 \end{pmatrix}$

顺序主子式：

$$\Delta_1 = 5 > 0$$

$$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5-4 = 1 > 0$$

$$\Delta_3 = |A| = 5(5-4) - 2(10-8) - 4(-4+4) = 5 - 4 = 1 > 0$$

故 $f$ 正定。

**例 7.7** 求 $t$ 的取值范围，使 $f = 2x_1^2 + x_2^2 + 3x_3^2 + 2tx_1x_2 + 2x_1x_3$ 正定。

**解：** $A = \begin{pmatrix} 2 & t & 1 \\ t & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

需：

$$\Delta_1 = 2 > 0$$

$$\Delta_2 = 2 - t^2 > 0 \Rightarrow |t| < \sqrt{2}$$

$$\Delta_3 = |A| = 2(3) - t(3t) + 1(-1) = 6 - 3t^2 - 1 = 5 - 3t^2 > 0 \Rightarrow |t| < \sqrt{\frac{5}{3}}$$

综合得：$|t| < \sqrt{\frac{5}{3}}$

===== 7.5 正定矩阵的性质 =====

**性质 1：** 正定矩阵的行列式大于零，且可逆。

**性质 2：** 若 $A$ 正定，则 $A^{-1}$，$A^*$，$kA$（$k>0$）也正定。

**性质 3：** 若 $A, B$ 都正定，则 $A + B$ 正定。

**性质 4：** 若 $A$ 正定，则存在正定矩阵 $B$ 使 $A = B^2$（称为 $A$ 的平方根）。

===== 7.6 典型例题 =====

**例题 7.1** 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 正定的充要条件是存在正定矩阵 $B$ 使 $A = B^2$。

**证明：**

必要性：$A$ 正定，则存在正交矩阵 $Q$ 使 $Q^TAQ = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$，$\lambda_i > 0$

令 $\Lambda^{1/2} = \text{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_n})$，则 $A = Q\Lambda Q^T = Q\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2}Q^T = (Q\Lambda^{1/2}Q^T)^2$

令 $B = Q\Lambda^{1/2}Q^T$，则 $B$ 正定且 $A = B^2$。

充分性：若 $A = B^2$，$B$ 正定，则 $B$ 的特征值 $\mu_i > 0$，$A$ 的特征值 $\mu_i^2 > 0$，故 $A$ 正定。

**例题 7.2** 设 $A$ 是 $m \times n$ 实矩阵，$R(A) = n$，证明：$A^TA$ 正定。

**证明：** $(A^TA)^T = A^TA$，故 $A^TA$ 对称。

对任意 $X \neq 0$，$X^T(A^TA)X = (AX)^T(AX) = ||AX||^2 \geq 0$

又 $R(A) = n$，故 $AX = 0$ 只有零解，所以 $X \neq 0$ 时 $AX \neq 0$，$||AX||^2 > 0$

因此 $A^TA$ 正定。

**例题 7.3** 设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 是 $n$ 维非零实向量，且当 $i \neq j$ 时，$\alpha_i^T A \alpha_j = 0$。证明：$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 线性无关。

**证明：** 设 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_m\alpha_m = 0$

两边左乘 $\alpha_i^T A$：$k_1\alpha_i^T A \alpha_1 + \cdots + k_m\alpha_i^T A \alpha_m = 0$

由条件，$\alpha_i^T A \alpha_j = 0$（$i \neq j$），得 $k_i \alpha_i^T A \alpha_i = 0$

$A$ 正定，$\alpha_i \neq 0$，故 $\alpha_i^T A \alpha_i > 0$，所以 $k_i = 0$（$i = 1, \ldots, m$）

因此 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 线性无关。

===== 7.7 习题 =====

**基础题**

1. 写出下列二次型的矩阵：

(a) $f = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 4x_2x_3$

(b) $f = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1$

2. 用配方法将下列二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性替换：

(a) $f = x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3$

(b) $f = 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 6x_2x_3$

3. 用正交变换将下列实二次型化为标准形：

(a) $f = 3x_1^2 + 3x_2^2 + 6x_3^2 + 8x_1x_2 - 4x_1x_3 + 4x_2x_3$

(b) $f = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_4 - 2x_2x_3 + 2x_3x_4$

4. 求下列二次型的秩、正惯性指数和符号差：

(a) $f = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 - 4x_1x_2 - 4x_2x_3$

(b) $f = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_1$

5. 判别下列二次型是否正定：

(a) $f = 5x_1^2 + 6x_2^2 + 4x_3^2 - 4x_1x_2 - 4x_2x_3$

(b) $f = 10x_1^2 + 8x_1x_2 + 24x_1x_3 + 2x_2^2 - 28x_2x_3 + x_3^2$

**提高题**

6. 求 $t$ 的取值范围，使下列二次型正定：

(a) $f = x_1^2 + x_2^2 + 5x_3^2 + 2tx_1x_2 - 2x_1x_3 + 4x_2x_3$

(b) $f = 2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + tx_2x_3$

7. 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：当 $t$ 充分大时，$tE + A$ 正定。

8. 设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 是 $n$ 阶实反对称矩阵（$B^T = -B$），证明：$A + B$ 可逆。

9. 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A^3 - 3A^2 + 5A - 3E = O$，证明：$A$ 正定。

**挑战题**

10. 设 $A$ 是 $m$ 阶正定矩阵，$B$ 是 $m \times n$ 实矩阵，证明：$B^TAB$ 正定的充要条件是 $R(B) = n$。

11. 设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶正定矩阵，证明：$|A| \leq a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$（哈达玛不等式）。

12. 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\lambda_1$ 和 $\lambda_n$ 分别是 $A$ 的最大和最小特征值，证明：对任意 $X \in \mathbb{R}^n$，有

$$\lambda_n X^TX \leq X^TAX \leq \lambda_1 X^TX$$