====== 第二十章 Sobolev空间 ======

===== 20.1 弱导数 =====

**定义 20.1（弱导数）**
设 $u, v \in L_{loc}^1(\Omega)$，若对任意 $\varphi \in C_c^{\infty}(\Omega)$
$$\int_{\Omega} u D^{\alpha}\varphi dx = (-1)^{|\alpha|} \int_{\Omega} v \varphi dx$$
则称 $v$ 为 $u$ 的 **$\alpha$ 阶弱导数**，记为 $D^{\alpha}u = v$。

**例 20.1**
函数 $u(x) = |x|$ 在 $\mathbb{R}$ 上的经典导数在 $x=0$ 不存在，但弱导数为
$$u'(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \ 1, & x > 0 \end{cases}$$

===== 20.2 Sobolev空间的定义 =====

**定义 20.2（Sobolev空间 $W^{k,p}$）**
$$W^{k,p}(\Omega) = \{u \in L^p(\Omega) : D^{\alpha}u \in L^p(\Omega), \forall |\alpha| \leq k\}$$
范数：
$$\|u\|_{W^{k,p}} = \left(\sum_{|\alpha| \leq k} \|D^{\alpha}u\|_{L^p}^p\right)^{1/p}$$

**特殊记号：**
  - $H^k(\Omega) = W^{k,2}(\Omega)$（Hilbert空间）
  - $W_0^{k,p}(\Omega)$：$C_c^{\infty}(\Omega)$ 在 $W^{k,p}$ 范数下的完备化

===== 20.3 Sobolev嵌入定理 =====

**定理 20.1（Sobolev嵌入定理）**
设 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是有界开集，$\partial\Omega$ 光滑。

1. 若 $kp < n$，则 $W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow L^q(\Omega)$，其中 $q = \frac{np}{n-kp}$
2. 若 $kp > n$，则 $W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow C^{m,\alpha}(\bar{\Omega})$

**迹定理：**
若 $\partial\Omega$ 光滑，$u \in W^{1,p}(\Omega)$，则 $u$ 在边界上的迹 $u|_{\partial\Omega} \in L^p(\partial\Omega)$。

**应用：**
  - 偏微分方程弱解理论
  - 有限元方法理论基础
  - 变分问题研究