====== 第六章 有限维赋范空间 ======

===== 6.1 引言 =====

有限维赋范空间虽然维度有限，却具有丰富的结构。与无限维空间相比，有限维空间具有许多良好的性质：所有范数等价、单位球是紧的、线性算子必有界等。这些性质使得有限维空间成为理解无限维空间的起点和参照。

本章将深入研究有限维赋范空间的特性，包括范数等价性、Minkowski泛函等重要概念。

===== 6.2 有限维空间的性质 =====

==== 6.2.1 范数等价性再讨论 =====

**定理 6.1**（范数等价定理）设$X$是有限维线性空间，$\|\cdot\|_\alpha$和$\|\cdot\|_\beta$是$X$上的任意两个范数。则$\|\cdot\|_\alpha$与$\|\cdot\|_\beta$等价。

**证明**（详细版）：设$\dim X = n$，$\{e_1, \ldots, e_n\}$是$X$的一组基。

对$x = \sum_{i=1}^n \xi_i e_i$，定义：

$$\|x\|_0 = \left(\sum_{i=1}^n |\xi_i|^2\right)^{1/2}$$

这是$\mathbb{K}^n$上标准欧几里得范数通过同构诱导的范数。

**第一步**：证明任意范数$\|\cdot\|$与$\|\cdot\|_0$等价。

上界：由三角不等式和Cauchy-Schwarz：

$$\|x\| = \left\|\sum_{i=1}^n \xi_i e_i\right\| \leq \sum_{i=1}^n |\xi_i| \|e_i\| \leq \left(\sum_{i=1}^n |\xi_i|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{i=1}^n \|e_i\|^2\right)^{1/2} = M \|x\|_0$$

其中$M = \left(\sum_{i=1}^n \|e_i\|^2\right)^{1/2}$。

下界：考虑单位球面$S = \{x : \|x\|_0 = 1\}$。定义：

$$f: S \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \|x\|$$

$f$连续：$|f(x) - f(y)| = |\|x\| - \|y\|| \leq \|x - y\| \leq M\|x - y\|_0$

$S$是$\mathbb{K}^n$中的紧集（闭且有界）。由连续函数在紧集上达到最小值，存在$x_0 \in S$使得：

$$m = f(x_0) = \inf_{x \in S} \|x\|$$

由于$x_0 \neq 0$且范数正定，$m = \|x_0\| > 0$。

对任意$x \neq 0$，$x/\|x\|_0 \in S$，故：

$$\left\|\frac{x}{\|x\|_0}\right\| \geq m \Rightarrow \|x\| \geq m \|x\|_0$$

综上：$m \|x\|_0 \leq \|x\| \leq M \|x\|_0$。

**第二步**：由等价关系的传递性，$\|\cdot\|_\alpha$与$\|\cdot\|_\beta$都等价于$\|\cdot\|_0$，故彼此等价。$\square$

==== 6.2.2 有限维空间的拓扑性质 =====

**定理 6.2** 有限维赋范空间$X$是Banach空间。

**证明**：$X$与$\mathbb{K}^n$（某个$n$）代数同构。在$\mathbb{K}^n$上取标准范数$\|\cdot\|_2$，则$(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_2)$完备。由范数等价，$X$完备。$\square$

**定理 6.3** 有限维赋范空间中，子集$A$是紧集当且仅当$A$是有界闭集。

**证明**：

（$\Rightarrow$）紧集必有界闭（一般度量空间）。

（$\Leftarrow$）设$A$有界闭。取一组基，$X$与$\mathbb{K}^n$同构。$A$对应$\mathbb{K}^n$中的有界闭集，由Heine-Borel定理是紧集。$\square$

**推论 6.1** 有限维赋范空间的单位闭球是紧集。

**注记**：这是有限维空间与无限维空间的本质区别。在无限维赋范空间中，单位闭球**不是**紧集。

**定理 6.4** 赋范空间$X$是有限维的当且仅当其单位闭球$\bar{B}_X = \{x : \|x\| \leq 1\}$是紧集。

**证明**：

（$\Rightarrow$）已证。

（$\Leftarrow$）假设$\bar{B}_X$紧但$\dim X = \infty$。归纳构造序列$\{x_n\}$使得$\|x_n\| = 1$且$d(x_n, \text{span}\{x_1, \ldots, x_{n-1}\}) \geq 1/2$。

这样的序列满足$\|x_m - x_n\| \geq 1/2$（$m \neq n$），无收敛子列，与$\bar{B}_X$紧矛盾。$\square$

===== 6.3 Riesz引理 =====

**定理 6.5**（Riesz引理）设$Y$是赋范空间$X$的真闭子空间。则对任意$\theta \in (0, 1)$，存在$x_\theta \in X$使得：

$$\|x_\theta\| = 1, \quad \inf_{y \in Y} \|x_\theta - y\| \geq \theta$$

**证明**：取$x \in X \setminus Y$，令$d = \inf_{y \in Y} \|x - y\|$。由于$Y$闭，$d > 0$。

对$\theta \in (0, 1)$，存在$y_0 \in Y$使得：

$$\|x - y_0\| \leq \frac{d}{\theta}$$

令$x_\theta = \frac{x - y_0}{\|x - y_0\|}$，则$\|x_\theta\| = 1$。

对任意$y \in Y$：

$$\|x_\theta - y\| = \left\|\frac{x - y_0}{\|x - y_0\|} - y\right\| = \frac{\|x - (y_0 + \|x - y_0\|y)\|}{\|x - y_0\|}$$

由于$y_0 + \|x - y_0\|y \in Y$：

$$\|x_\theta - y\| \geq \frac{d}{\|x - y_0\|} \geq \frac{d}{d/\theta} = \theta$$

$\square$

**注记**：当$\dim X < \infty$时，$\theta$可取为1（达到正交）。在无限维空间中，$\theta = 1$一般不可达到。

===== 6.4 Minkowski泛函 =====

==== 6.4.1 凸集与吸收集 =====

**定义 6.1**（凸集）设$X$是线性空间，子集$C \subseteq X$称为**凸集**，如果对任意$x, y \in C$和$t \in [0, 1]$：

$$tx + (1-t)y \in C$$

**定义 6.2**（吸收集）子集$A \subseteq X$称为**吸收集**，如果对任意$x \in X$，存在$t > 0$使得$tx \in A$。

等价地，$X = \bigcup_{t > 0} tA$。

**定义 6.3**（对称集）子集$A \subseteq X$称为**对称**的（或**平衡**的），如果对任意$x \in A$和$|\alpha| = 1$，有$\alpha x \in A$。

==== 6.4.2 Minkowski泛函的定义 =====

**定义 6.4**（Minkowski泛函）设$A \subseteq X$是凸的、吸收的、包含原点的子集。定义**Minkowski泛函**（或**规范函数**）：

$$p_A(x) = \inf\{t > 0 : x \in tA\} = \inf\{t > 0 : x/t \in A\}$$

**注记**：
  - $p_A(x)$可理解为将$A$放大多少倍才能"包含"$x$
  - 若$A$是单位球，则$p_A(x) = \|x\|$

**定理 6.6**（Minkowski泛函的基本性质）设$A$是凸的、吸收的、含原点的子集，则：

**(1)** $p_A(x) \geq 0$（正定性）；

**(2)** $p_A(\alpha x) = \alpha p_A(x)$对$\alpha \geq 0$（正齐次性）；

**(3)** $p_A(x + y) \leq p_A(x) + p_A(y)$（次可加性）；

**(4)** 若$A$对称，则$p_A(\alpha x) = |\alpha| p_A(x)$。

**证明**：

**(2)** 对$\alpha > 0$：

$$p_A(\alpha x) = \inf\{t > 0 : \alpha x \in tA\} = \inf\{t > 0 : x \in \frac{t}{\alpha}A\}$$

$$= \alpha \inf\{s > 0 : x \in sA\} = \alpha p_A(x)$$

**(3)** 对$\epsilon > 0$，存在$s, t > 0$使得：

$$x \in sA, \quad p_A(x) \leq s < p_A(x) + \epsilon/2$$

$$y \in tA, \quad p_A(y) \leq t < p_A(y) + \epsilon/2$$

由凸性：

$$\frac{x + y}{s + t} = \frac{s}{s+t}\cdot\frac{x}{s} + \frac{t}{s+t}\cdot\frac{y}{t} \in A$$

故$x + y \in (s + t)A$，$p_A(x + y) \leq s + t < p_A(x) + p_A(y) + \epsilon$。由$\epsilon$任意性得结论。$\square$

==== 6.4.3 范数的刻画 =====

**定理 6.7** 设$p$是线性空间$X$上的泛函，满足：

**(1)** $p(x) \geq 0$，且$p(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$；

**(2)** $p(\alpha x) = |\alpha| p(x)$；

**(3)** $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$。

则$p$是$X$上的范数。

**定理 6.8** 设$A$是凸的、吸收的、对称的、有界的（不含整条直线）子集，且$\bigcap_{t > 0} tA = \{0\}$。则$p_A$是范数，且：

$$\{x : p_A(x) < 1\} \subseteq A \subseteq \{x : p_A(x) \leq 1\}$$

===== 6.5 有限维空间上的线性算子 =====

**定理 6.9** 设$X$是有限维赋范空间，$Y$是任意赋范空间。则每个线性算子$T: X \to Y$都有界（连续）。

**证明**：设$\dim X = n$，$\{e_1, \ldots, e_n\}$是基。对$x = \sum_{i=1}^n \xi_i e_i$：

$$\|Tx\| = \left\|\sum_{i=1}^n \xi_i Te_i\right\| \leq \sum_{i=1}^n |\xi_i| \|Te_i\| \leq M' \sum_{i=1}^n |\xi_i|$$

其中$M' = \max_i \|Te_i\|$。由有限维空间范数等价，存在$M'' > 0$使得：

$$\sum_{i=1}^n |\xi_i| \leq M'' \|x\|$$

故$\|Tx\| \leq M' M'' \|x\| = M\|x\|$，$T$有界。$\square$

**推论 6.2** 有限维赋范空间上线性泛函都连续。

===== 6.6 习题 =====

**习题 6.1** 证明：在有限维赋范空间中，所有线性子空间都是闭的。

**习题 6.2** 设$X$是赋范空间，$\dim X = \infty$。用Riesz引理证明$X$的单位球面$S_X$不是紧集。

**习题 6.3** 证明：若赋范空间$X$中每个有界序列都有收敛子列，则$X$是有限维的。

**习题 6.4** 设$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1\}$。求Minkowski泛函$p_A((x,y))$。

**习题 6.5** 设$C$是线性空间$X$中的凸集，$x_1, \ldots, x_n \in C$，$t_1, \ldots, t_n \geq 0$，$\sum t_i = 1$。证明$\sum_{i=1}^n t_i x_i \in C$（凸组合封闭）。

**习题 6.6** 证明：赋范空间中开球$B(0, r)$是凸的吸收集。

**习题 6.7** 设$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x| + |y| \leq 1\}$。求$p_A((x,y))$并验证它是范数。

**习题 6.8** 设$X$是有限维赋范空间，$T: X \to X$是线性双射。证明$T^{-1}$也是线性的且有界。

**习题 6.9** 证明：有限维赋范空间是自反的。

**习题 6.10** 设$X$是赋范空间，$Y$是有限维子空间。证明$Y$在$X$中是闭的。

===== 6.7 补充阅读 =====

  * Auerbach引理：有限维空间中存在"好的"基
  * John's椭圆定理：有限维空间中的最大体积椭球
  * Dvoretzky定理：高维空间中的欧几里得截面

====== 本章小结 ======

本章深入研究了有限维赋范空间：

  - 有限维空间上所有范数等价，这是其最重要的性质
  - 有限维Banach空间与$\mathbb{K}^n$拓扑同构
  - 有界闭集=紧集，这是有限维的特征性质
  - Riesz引理揭示了无限维空间的"厚度"
  - Minkowski泛函从几何角度刻画范数
  - 有限维空间上的线性算子自动连续