===== 定理依赖关系图 =====
<uml>
@startuml
:闭区间最值定理(Extreme Value); 
note right
  实数完备性(确界原理)
end note
:费马引理(Fermat's Lemma);
note right
  导数定义 + 极值定义
end note
:罗尔定理(Rolle's Thm);
:拉格朗日中值定理(Lagrange MVT);
:柯西中值定理(Cauchy MVT);
:洛必达法则(L'Hôpital's Rule);
@enduml
</uml>





===== 洛必达法则（L'Hôpital's Rule） =====

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：
  * $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$
  * 在 $a$ 的某**去心邻域**内可导，且 $g'(x) \neq 0$
  * $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$（$L$ 为有限数或 $\pm\infty$）

则：
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$

==== 证明（利用柯西中值定理） ====

**第一步：补充定义**

由于 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$，补充定义：
$$f(a) = 0, \quad g(a) = 0$$

则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x = a$ 处连续。

**第二步：对任意 $x \neq a$ 应用柯西中值定理**

不妨设 $x > a$（$x < a$ 情形类似），在区间 $[a, x]$ 上：
  * $f, g$ 连续（由补充定义）
  * $f, g$ 在 $(a, x)$ 可导（由条件）
  * $g'(t) \neq 0$ 对 $t \in (a, x)$

根据**柯西中值定理**，存在 $\xi \in (a, x)$，使得：
$$\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

由 $f(a) = g(a) = 0$，化简得：
$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

**第三步：取极限**

当 $x \to a^+$ 时，由于 $a < \xi < x$，由夹逼准则得 $\xi \to a^+$。

因此：
$$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \lim_{\xi \to a^+} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = L$$

同理可证 $x \to a^-$ 情形，故：
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L$$

**证毕。**

==== 洛必达法则的常见错误 ====

^ 错误类型 ^ 示例 ^ 正确做法 ^
| 未验证不定式 | $\lim_{x\to 0} \frac{x+1}{x+2} = \frac{1}{2}$ 直接用洛必达得 $\frac{1}{1}$（碰巧对但不合法） | 先确认是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ |
| 导数之比极限不存在 | $\lim_{x\to\infty} \frac{x+\sin x}{x}$，导数之比 $1+\cos x$ 振荡 | 洛必达法则**失效**，改用夹逼：$= 1$ |
| 循环求导 | $\lim_{x\to\infty} \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$ 反复洛必达循环 | 分子分母同除 $e^x$ 得 $1$ |
| 忘记其他方法 | $\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$ 洛必达需三次求导 | 泰勒展开：$\frac{x-(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))}{x^3} = \frac{1}{6}$ 更快 |