====== 绪论：弹性力学基础 ======

本章节主要探讨固体的基本物理性质、力学特征以及弹性力学的基本假设。

===== 1. 固体的微观结构与宏观特性 =====

虽然一般固体在微观上可以分为**晶体 (Crystalline)** 和**非晶体 (Amorphous)** 两种，但工程中常见的普通固体通常属于**多晶体 (Polycrystalline)**。

  *   **微观结构**：由许许多多的小晶体组成。
  *   **排列方式**：这些小晶体以各种不同的方向杂乱地混合在一起。
  *   **宏观特性**：虽然单个晶体具有各向异性，但由于多晶体的随机排列，从外表上统观地看，它们在宏观上表现为**各向同性 (Isotropic)**。

===== 2. 不同物态的力学特性对比 =====

物体在不同的载荷条件下（静力 vs 动力），表现出不同的特性。

==== 2.1 静力载荷下的特性 ====

| 物态 | 剪力 (Shear Force) | 压力 (Pressure) | 压缩性 |
| **气体** | 不能承受 | 承受后会压缩 | 易压缩 |
| **液体** | 不能承受 | 承受 | 压缩很小 |
| **固体** | **既可承受** | **也可承受** | 压缩很小 |

**结论**：从静力学观点来看，气体、液体和固体各有不同的特性。

==== 2.2 动力与运动情况下的特性 ====

  *   **低速运动时**：气体也可以被当作不可压缩的，其特性与液体差别不大。因此流体力学既适用于气体，也适用于液体。
  *   **蠕变 (Creep)**：固体在外力长期作用下，有时会发生很缓慢的塑性流动，表现得就像粘滞性很大的液体。

> **注意**：这种物体很难严格界定是固体还是液体。因此，在动力学范围内，物质状态的划分与静力学范围内有着不同的意义。

===== 3. 简单拉伸与压缩试验 =====

测定一般多晶体固体在外力作用下产生伸长（或压缩）的试验叫做简单拉伸（或压缩）试验。

==== 3.1 标准试件与参数定义 ====

试验通常使用**标准试件**进行。

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  *   **$L_0$**：标准试件中两指定点之间在受力之前的长度（标距）。
  *   **$F_0$**：中段上的截面面积。
  *   **$P$**：施加的拉力。
  *   **$\Delta L$**：加上拉力 $P$ 后，$L_0$ 的伸长量。

==== 3.2 应力与应变公式 ====

根据定义，我们可以得出以下基本物理量：

  *   **拉伸应力 (Tensile Stress, $\sigma$)**：单位面积上的内力。
$$ \sigma = \frac{P}{F_0} $$
  *   **拉伸应变 (Tensile Strain, $\epsilon$)**：单位长度的伸长量。
$$ \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} $$

==== 3.3 杨氏模量 (Young's Modulus) ====

对于某种材料，其拉伸应力与拉伸应变的比值是一个常数，称为该种材料的**杨氏模量**（或弹性模量），用符号 **$E$** 表示：

$$ E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{P L_0}{F_0 \Delta L} \quad (1-3) $$

===== 4. 应力-应变图与滞后现象 =====

拉伸（压缩）试验的力学性质常用**应力-应变关系曲线**来表示。

==== 4.1 韧性固体的应力应变图 ====

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曲线通常包含以下阶段：
  *   **弹性阶段**：应力与应变成正比。
  *   **屈服阶段 ($\sigma_y$)**：材料发生显著塑性变形。
  *   **强化阶段**：曲线继续上升至最高点 $B$。

==== 4.2 弹性的滞后现象 (Hysteresis) ====

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许多脆性固体在**除去载荷**和**重复载荷**的过程中，其应力-应变路径并不沿直线进行，而是沿着一种**回路**进行。

  *   **能量损耗**：经过回路一周是要作功的，因此便发生弹性的滞后现象。
  *   **历史背景**：这种现象是 1906 年由哥丁根大学 (Göttingen) 的**柏林诺 (Prandtl)** 首先发现的。
  *   **工程意义**：滞后现象是材料在振动时破坏的主要因素。

===== 5. 横向变形与泊松比 =====

固体在伸长（或压缩）时，不仅长度发生变化，试件的截面也有变形。
  *   **长度伸长** $\rightarrow$ **截面缩小**
  *   **长度缩短** $\rightarrow$ **截面增加**

假如我们定义：
  *   **横向应变**：$\epsilon_y$ 或 $\epsilon_z$
  *   **纵向应变**：$\epsilon_x$

在简单拉伸（压缩）、横向不受力的情况下，横向应变和纵向应变有下列关系：

$$ \frac{\epsilon_y}{\epsilon_x} = -\nu  $$

我们称 **$\nu$** 为材料的**泊松比 (Poisson's ratio)**。
  *   一般 $\nu$ 的值在 **$1/3$ 到 $1/4$** 之间。

===== 6. 剪切变形与剪力模量 =====

固体在剪力载荷作用下发生剪应变。

==== 6.1 剪切模型 ====
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假设有一个立方体：
  - 截面积为 $F$。
  -  两个面上各受一方向相反、大小相等的剪力 $P$。
  -  材料由立方体变成斜方体。

==== 6.2 剪切定义 ====

  *   **剪应力 ($\tau$)**：
$$ \tau = \frac{P}{F} $$
  *   **剪应变 ($\gamma$)**：斜方体的倾斜角。
  *   **剪力模量 ($\mu$)**：
$$ \frac{\tau}{\gamma} = \mu  $$
    
注：当 $\gamma$ 不大时，$\mu$ 一般是一个常数；但当 $\tau$ 超过某一限度时，也会发生屈服现象。

===== 7. 弹性体——固体的理想化 =====

==== 7.1 弹性体的定义 ====

一般固体在静力作用下的力学性质是很复杂的，包含弹性变形、塑性永久变形、蠕变等。为了简化研究，我们引入**弹性体**的概念：

  -  **假设条件**：仅研究固体在**载荷不大**、**应变很小**的情况。
  -  **忽略次要因素**：在此情况下，永久变形和蠕变都很小，主要部分是弹性变形。
  -  **理想化模型**：略去弹性变形以外的变形部分，假定物体在除去载荷后，完全恢复到变形前的原来形状。

我们称这种理想化的固体为**弹性体**。

==== 7.2 连续性与均匀性假设 (微元体) ====

从空间平均起来看，弹性体仍旧可以算作是均匀的。在后续研究中，我们常需在弹性体中取出一个**微元体**来研究其力学性质。

关于这个**微元体**的大小定义存在辩证关系：
  * **数学上**：它是一个无穷小量（不能太大），以便应用微积分分析。
  * **物理上**：它虽不能太大，但也**不能太小**。它的大小应当**大于包括很多小晶体的空间**。

**目的**：只有这样，我们提出的**均匀性假设**才没有损害，实际的材料当然不可能是完全均匀的，但通过这种统计平均的微元体，我们可以将其视为均匀介质处理。

除了连续性和均匀性，弹性力学通常还包含以下三个基本假设：

  * **各向同性 (Isotropy)**
    * 假设材料在各个方向上的物理性质（如弹性模量、泊松比）都是相同的。这意味着物体内一点的力学性能与方向无关。
  * **线弹性假设 (Linear Elasticity)**
    * 假设应力与应变之间满足线性关系（即胡克定律，Hooke's Law）。材料在卸载后能够完全恢复原状，且变形与外力成正比。
  * **小变形假设 (Small Deformation)**
    * 假设物体受力后的位移和变形量远小于物体自身的尺寸。
    *在此假设下，建立平衡方程时可以用变形前的几何尺寸代替变形后的尺寸，且应变的高阶微量可以忽略不计（几何线性）。

==== 7.3 弹性力学在固体力学中的位置 ====

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====== 目录 ======

  - [[弹性力学:应力分析]]
  - [[弹性力学:应变分析]]
  - [[弹性力学:应力和应变的关系]]
  - [[弹性力学:弹性体力学问题的建立]]
  - [[弹性力学:弹性力学的一般原理]]
  - [[弹性力学:弹性力学的平面问题]]
  - [[弹性力学:能量法]]
  - [[弹性力学:柱体的扭转与弯曲]]
  - [[弹性力学:薄板问题]]
  - [[弹性力学:接触问题]]
  - [[弹性力学:球体问题]]
  - [[弹性力学:薄壳问题]]
  - [[弹性力学:固体中弹性波的传播]]