====== 第三章 一阶微分方程的解的存在唯一性 ====== ===== 3.1 引言 ===== 前两章我们讨论了几类特殊的一阶微分方程的解法。然而，在实际应用中遇到的微分方程往往不能用初等函数表示其解。因此，研究解的存在性和唯一性具有重要的理论意义和实用价值。 本章将介绍Picard逐次逼近法和相关的存在唯一性定理，这是常微分方程理论中最基本也是最重要的结果之一。 ===== 3.2 例子与反例 ===== 在讨论一般理论之前，先看一些例子说明解的存在性和唯一性并非总是成立。 **例 3.1** 初值问题 $y' = y^{2/3}, y(0) = 0$。 显然 $y = 0$ 是一个解。另外，分离变量得 $3y^{1/3} = x + C$，由 $y(0) = 0$ 得 $C = 0$，所以 $y = (x/3)^3$ 也是解。 更一般地，对任意 $a \geq 0$，函数 $y_a(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a \\ \left(\frac{x-a}{3}\right)^3, & x > a \end{cases}$ 都是解。因此该初值问题有无穷多个解！唯一性不成立。 **例 3.2** 初值问题 $y' = y^2, y(0) = 1$。 分离变量得 $-\frac{1}{y} = x + C$，即 $y = -\frac{1}{x + C}$。 由 $y(0) = 1$ 得 $C = -1$，所以 $y = \frac{1}{1-x}$。 此解只在 $x < 1$ 时有定义，当 $x \to 1^-$ 时 $y \to +\infty$。解在 $x = 1$ 处发生"爆破"(blow-up)。 **例 3.3** 初值问题 $y' = \frac{y}{x}, y(0) = 1$。 方程在 $x = 0$ 处无定义。实际上，该初值问题**无解**。 这些例子说明： * 解可能不存在（例3.3） * 解可能存在但不唯一（例3.1） * 解可能只在有限区间上存在（例3.2） ===== 3.3 Lipschitz条件 ===== ==== 3.3.1 定义 ==== **定义 3.1** 设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内有定义。如果存在常数 $L > 0$，使得对任意 $(x, y_1), (x, y_2) \in D$，有 $|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L|y_1 - y_2|$ 则称 $f$ 在 $D$ 内关于 $y$ 满足**Lipschitz条件**，$L$ 称为**Lipschitz常数**。 ==== 3.3.2 Lipschitz条件的判别 ==== **定理 3.1** 若 $f(x, y)$ 在凸区域 $D$ 内关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 有界，即 $|\frac{\partial f}{\partial y}| \leq L$，则 $f$ 在 $D$ 内关于 $y$ 满足Lipschitz条件。 **证明：** 由微分中值定理，存在 $\xi$ 在 $y_1, y_2$ 之间使得： $|f(x, y_1) - f(x, y_2)| = |\frac{\partial f}{\partial y}(x, \xi)| \cdot |y_1 - y_2| \leq L|y_1 - y_2|$ **例 3.4** 验证 $f(x, y) = xy$ 在矩形区域 $R: |x| \leq a, |y| \leq b$ 上满足Lipschitz条件。 **解：** $\frac{\partial f}{\partial y} = x$，在 $R$ 上 $|\frac{\partial f}{\partial y}| = |x| \leq a$。 故满足Lipschitz条件，可取 $L = a$。 **例 3.5** $f(x, y) = y^{2/3}$ 在包含 $y = 0$ 的区域上不满足Lipschitz条件。 **解：** $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{3}y^{-1/3}$，当 $y \to 0$ 时无界。 ===== 3.4 Picard存在唯一性定理 ===== ==== 3.4.1 定理陈述 ==== **定理 3.2 (Picard存在唯一性定理)** 设函数 $f(x, y)$ 在矩形区域 $R = \{(x, y) : |x - x_0| \leq a, |y - y_0| \leq b\}$ 上连续，且关于 $y$ 满足Lipschitz条件，则初值问题 $\begin{cases} \frac{dy}{dx} = f(x, y) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}$ 在区间 $|x - x_0| \leq h$ 上存在**唯一**的解，其中 $h = \min\{a, \frac{b}{M}\}, \quad M = \max_{(x,y) \in R} |f(x, y)|$。 ==== 3.4.2 定理的证明思路 ==== **第一步：等价积分方程** 初值问题等价于积分方程： $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, y(t))dt$ **第二步：构造逐次逼近序列** 定义序列（Picard迭代）： $\varphi_0(x) = y_0$ $\varphi_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, \varphi_n(t))dt, \quad n = 0, 1, 2, \ldots$ **第三步：证明序列收敛** **引理 3.1** 对 $|x - x_0| \leq h$，所有 $\varphi_n(x)$ 有定义且满足 $|\varphi_n(x) - y_0| \leq b$。 **证明（归纳法）：** * $n = 0$：显然成立 * 假设对 $n = k$ 成立，则 $|\varphi_{k+1}(x) - y_0| = |\int_{x_0}^{x} f(t, \varphi_k(t))dt| \leq M|x - x_0| \leq Mh \leq b$ **引理 3.2** 序列 $\{\varphi_n(x)\}$ 在 $|x - x_0| \leq h$ 上一致收敛。 **证明：** 令 $M_n = \max_{|x-x_0|\leq h}|\varphi_{n+1}(x) - \varphi_n(x)|$ 可证 $M_n \leq \frac{ML^n h^{n+1}}{(n+1)!}$ 由Weierstrass判别法，级数 $\sum M_n$ 收敛，故 $\{\varphi_n\}$ 一致收敛。 **第四步：证明极限函数是解** 设 $\varphi_n \to \varphi$ 一致收敛。在Picard迭代式中令 $n \to \infty$： $\varphi(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, \varphi(t))dt$ 故 $\varphi$ 是积分方程的解，从而是初值问题的解。 **第五步：证明唯一性** 设 $\varphi, \psi$ 都是解。令 $d = \max_{|x-x_0|\leq h}|\varphi(x) - \psi(x)|$。 则：$|\varphi(x) - \psi(x)| \leq L\int_{x_0}^{x}|\varphi(t) - \psi(t)|dt \leq Lh \cdot d$ 若 $Lh < 1$，则 $d \leq Lh \cdot d$ 推出 $d = 0$。 一般情形需要更精细的估计（Gronwall不等式）。 ===== 3.5 Picard迭代法 ===== ==== 3.5.1 方法描述 ==== Picard迭代不仅是证明工具，也是求解初值问题的数值方法。 $\varphi_0(x) = y_0$ $\varphi_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, \varphi_n(t))dt$ ==== 3.5.2 例子 ==== **例 3.6** 用Picard迭代求 $y' = y, y(0) = 1$ 的前几项逼近。 **解：** $\varphi_0(x) = 1$ $\varphi_1(x) = 1 + \int_0^x 1 \cdot dt = 1 + x$ $\varphi_2(x) = 1 + \int_0^x (1 + t)dt = 1 + x + \frac{x^2}{2}$ $\varphi_3(x) = 1 + \int_0^x (1 + t + \frac{t^2}{2})dt = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$ 归纳可得： $\varphi_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}$ 极限为 $\varphi(x) = e^x$，这正是精确解。 **例 3.7** 用Picard迭代求 $y' = x + y, y(0) = 0$ 的近似解。 **解：** $\varphi_0(x) = 0$ $\varphi_1(x) = \int_0^x t dt = \frac{x^2}{2}$ $\varphi_2(x) = \int_0^x (t + \frac{t^2}{2})dt = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$ $\varphi_3(x) = \int_0^x (t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6})dt = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}$ 精确解为 $y = e^x - x - 1$，展开后与上述结果一致。 ===== 3.6 解的延拓 ===== ==== 3.6.1 局部解与整体解 ==== Picard定理给出的是**局部**存在性，即解只在 $|x - x_0| \leq h$ 上存在。 **问题：** 能否将解延拓到更大的区间？ ==== 3.6.2 延拓定理 ==== **定理 3.3 (解的延拓定理)** 设 $f(x, y)$ 在区域 $G$ 内连续且关于 $y$ 满足局部Lipschitz条件，则初值问题的解可以延拓到边界或无穷远。 **推论：** 若 $f(x, y)$ 在全平面连续，且对任意有界闭集满足Lipschitz条件，则解要么在 $(-\infty, +\infty)$ 上存在，要么在有限区间内趋于无穷。 **例 3.8** $y' = y^2, y(0) = 1$ 的解 $y = \frac{1}{1-x}$ 在 $x = 1$ 处有奇点，无法延拓超过 $x = 1$。 ===== 3.7 解对初值的连续依赖性 ===== ==== 3.7.1 问题的提出 ==== 实际测量中初值 $y_0$ 往往有误差。问题是：初值的微小变化是否导致解的微小变化？ ==== 3.7.2 连续依赖性定理 ==== **定理 3.4** 在Picard定理的条件下，设 $y = \varphi(x, x_0, y_0)$ 是初值问题 $y' = f(x, y), y(x_0) = y_0$ 的解，则 $\varphi$ 关于 $x_0, y_0$ 是连续的。 更精确地，若 $(\bar{x}_0, \bar{y}_0)$ 充分接近 $(x_0, y_0)$，则对应的解 $\bar{\varphi}(x)$ 在公共存在区间上满足： $|\bar{\varphi}(x) - \varphi(x)| < \varepsilon$ ===== 3.8 习题 ===== **习题 3.1** 验证下列函数在给定区域上是否满足Lipschitz条件： a) $f(x, y) = xy$ 在 $|x| \leq 1, |y| \leq 1$ b) $f(x, y) = \sqrt{y}$ 在 $0 \leq y \leq 1$ c) $f(x, y) = |y|$ 在全平面 **习题 3.2** 用Picard迭代求下列初值问题的前三项逼近： a) $y' = x - y, y(0) = 1$ b) $y' = y^2, y(0) = 1$ **习题 3.3** 讨论初值问题 $y' = \sqrt{|y|}, y(0) = 0$ 解的存在唯一性，并找出所有解。 **习题 3.4** 设 $f(x, y)$ 在条形区域 $R: a \leq x \leq b, -\infty < y < +\infty$ 上连续，且满足Lipschitz条件。证明：对任意 $x_0 \in [a, b], y_0 \in \mathbb{R}$，初值问题的解在 $[a, b]$ 上存在唯一。 **习题 3.5** (Gronwall不等式) 设 $u(x)$ 在 $[x_0, x_1]$ 上非负连续，且满足 $u(x) \leq C + K\int_{x_0}^{x} u(t)dt$ 其中 $C, K \geq 0$ 为常数。证明：$u(x) \leq Ce^{K(x-x_0)}$。 ===== 3.9 参考答案 ===== **习题 3.1** a) 满足，$L = 1$ b) 不满足（在 $y = 0$ 附近） c) 满足，$L = 1$ **习题 3.2** a) $\varphi_0 = 1, \varphi_1 = 1 - x + \frac{x^2}{2}, \varphi_2 = 1 - x + x^2 - \frac{x^3}{6}$ b) $\varphi_0 = 1, \varphi_1 = 1 + x, \varphi_2 = 1 + x + x^2 + \frac{x^3}{3}$ **习题 3.3** 不满足唯一性条件，有无穷多解：对任意 $a \geq 0$， $y_a(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a \\ \frac{(x-a)^2}{4}, & x > a \end{cases}$ ===== 3.10 本章小结 ===== 本章核心内容： * **Lipschitz条件**：保证唯一性的关键条件 * **Picard存在唯一性定理**：在 $f$ 连续且满足Lipschitz条件下，初值问题局部存在唯一解 * **Picard迭代法**：构造解的逐次逼近序列 * **解的延拓**：局部解可以延拓到边界 * **连续依赖性**：解对初值连续依赖，保证数值计算的稳定性 这些理论结果为常微分方程的数值求解和定性分析奠定了基础。