====== 进制 ======
|进制|数码|基数|位权|
|二进制(B)|0,1|2|$2^k$|
|八进制(O)|0,1,2,3,4,5,6,7|8|$8^k$|
|十进制(D)|0,1,2,3,4,5,6,7,8,9|10|$10^k$|
|十六进制(H)|0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F|16|$16^k$|
位权：数字中每个位置对应的单位值。
====== 十进制与其他进制之间的转换 ======
1）其他进制转十进制
R进制数：$X_{m-1}··· X_{0} X_{-1}··· X_{-n} = \Sigma_{k=-n}^{k=m-1} X_{k} R^{k} $
例如二进制：$101.01=1 \times 2^2+1 \times 2^0+1 \times 2^{-2}=5.25$
2) 十进制转其他进制
|位置|整数部分：连除取余法| 小数部分：连乘取整法|
|表示|$N = (d_{m-1} \cdots d_1 d_0)_R$| $F = (0.d_{-1} d_{-2} \cdots d_{-n})_R$|
|d值|其中每一位由连续除以R的余数决定| 其中每一位由连续乘以R的整数部分决定|
|公式|$N_0 = N$ \\ $N_{i+1} = \lfloor N_i / R \rfloor \quad (i = 0,1,2,\cdots) $ \\ $d_i = N_i \bmod R \quad \text{(余数，取值范围 } 0 \sim R-1\text{)}$| $F_0 = F \quad \text{(纯小数部分)} $ \\ $F_{i+1} = \text{frac}(F_i \times R) \quad \text{(取小数部分继续)} $ \\ $d_{-i} = \lfloor F_i \times R \rfloor \quad \text{(乘积的整数部分，作为下一位)}$ |
|停止条件|当 $N_{i+1} = 0 $时停止，最后得到的余数 $d_{m-1}$ 作为最高位。|精确转换：当 F_{i+1} = 0 时停止（小数部分乘尽） \\ 近似转换：达到所需精度位数时停止（如保留 n 位小数）|
| 示例 |十进制 19 转二进制 (R=2) \\ 19 ÷ 2 = 9 余 1 $(d_0)$ \\ 9 ÷ 2 = 4 余 1 $(d_1)$ \\ 4 ÷ 2 = 2 余 0 $(d_2)$ \\ 2 ÷ 2 = 1 余 0 $(d_3)$ \\ 1 ÷ 2 = 0 余 1 $(d_4)$ 停止 \\ 结果： $(10011)_2$ | 十进制 0.625 转二进制 (R=2) \\ 0.625 × 2 = 1.25 → 整数部分 1 $(d_{-1})$，剩余 0.25 \\ 0.25 × 2 = 0.5 → 整数部分 0 $(d_{-2})$，剩余 0.5 \\ 0.5 × 2 = 1.0 → 整数部分 1 $(d_{-3})$，剩余 0.0 停止 \\ 结果： $(0.101)_2$ |
若数含整数部分 N 和小数部分 F，则：
$(N.F)_{10} = (N)_{10} \text{转} R \quad + \quad (0.F)_{10} \text{转} R$
两部分分别转换，最后用小数点拼接。
示例： 19.625 转二进制 = $(10011)_2 + (0.101)_2 = (10011.101)_2 $
特殊情况：无限循环
有些十进制小数无法精确转换成二进制（如 0.1），会形成循环：
$0.1_{10} = (0.000110011001100\cdots)_2 = (0.0\overline{0011})_2$
此时按精度要求截断即可。
====== 二、八、十六进制之间的转换 ======
^ 转换方向 ^ 方法 ^ 示例 ^
| 二进制 → 八进制 | 整数部分**从右往左**，小数部分**从左往右**，每 **3 位**一组，不足补 0， \\ 每组换 1 位八进制 | (10 111 101.010 1)₂ = (275.24)₈ |
| 八进制 → 二进制 | 每位八进制数展开成 **3 位**二进制（高位补 0） | (275.24)₈ = (010 111 101.010 100)₂ |
| 二进制 → 十六进制 | 整数部分**从右往左**，小数部分**从左往右**，每 **4 位**一组，不足补 0， \\ 每组换 1 位十六进制 | (1011 1101.0101)₂ = (BD.5)₁₆ |
| 十六进制 → 二进制 | 每位十六进制数展开成 **4 位**二进制（高位补 0） | (BD.5)₁₆ = (1011 1101.0101)₂ |
| 八进制 ↔ 十六进制 | **以二进制为桥梁**：八进制→二进制→十六进制（反之亦然） | (275)₈ → (010111101)₂ → (0BD)₁₆ = (BD)₁₆ |
====== 含符号数值的表示 ======
^ 码制 ^ 转换规则 ^ -25 ^ +25 ^ 特点 ^ 主要用途 ^
| 原码 | 符号位(最左一位)：0正1负 \\ 数值位：真值的绝对值 | 10011001 | 00011001 | 0有+0和-0两种表示 | **人类直观理解**，\\ 用于输入输出显示，不参与运算 |
| 反码 | 正数：同原码 \\ 负数：符号位不变，数值位按位取反 | 11100110 | 00011001 | 0有两种表示，加减需循环进位 | **中间过渡桥梁** \\ 补码的中间步骤，现代计算机不用 |
| 补码 | 正数：同原码 \\ 负数：反码末位+1（符号位不变） | 11100111 | 00011001 | **计算机实际使用**，\\ 0唯一，减法统一为加法 | **整数运算核心** \\ CPU中的整数都用补码表示和计算 |
| 移码 | **补码符号位取反** \\ （数值位不变） | 01100111 | 10011001 | 便于浮点数阶码比较，0唯一 | **浮点数阶码** \\ 便于比较指数大小（IEEE 754标准使用） |
====== ±0的表示 ======
^ 码制 ^ +0 的表示 ^ -0 的表示 ^ 是否唯一 ^
| 原码 | 00000000 | 10000000 | 不唯一 ❌ |
| 反码 | 00000000 | 11111111 | 不唯一 ❌ |
| 补码 | 00000000 | 00000000 | 唯一 ✅ |
| 移码 | 10000000 | 10000000 | 唯一 ✅ |
====== 表示范围 ======
^ 码制 ^ 表示范围（8位） ^ 表示范围（n位） ^ 特殊说明 ^
| 原码 | $-(2^7 - 1) ~ +(2^7 - 1) $ \\ **-127 ~ +127** | $-(2^{n-1} - 1) ~ +(2^{n-1} - 1) $ | +0 和 -0 占两个编码，对称分布 |
| 反码 | $-(2^7 - 1) ~ +(2^7 - 1) $ \\ **-127 ~ +127** | $-(2^{n-1} - 1) ~ +(2^{n-1} - 1) $ | +0 和 -0 占两个编码，对称分布 |
| 补码 | $-2^7 ~ +(2^7 - 1) $ \\ **-128 ~ +127** | $-2^{n-1} ~ +(2^{n-1} - 1) $ | **多表示一个最小负数**（如 -128），0唯一 |
| 移码 | $-2^7 ~ +(2^7 - 1) $ \\ **-128 ~ +127** | $ -2^{n-1} ~ +(2^{n-1} - 1) $ | 0唯一，便于浮点数阶码比较 |
因为 补码和移码0唯一，没有100000000这个数，所以人为规定-128为100000000。
====== 浮点数的表示 ======
| |教学模型|IEEE 755标准|
|公式|$N=数符 * 尾数m * 2^{阶符*阶码e}$|$N = (-1)^S \times (1.M) \times 2^{E - bias}$|
|讲解|数符+、- \\ 尾数m 以0开头 \\ 阶符+、- \\ 阶码 即指数 |S = 数符（0正1负）\\ M = 尾数的小数部分（只存小数点后的位）\\ E = 存储指数（8位或11位无符号整数） \\ bias = 偏移量（单精度127，双精度1023）|
其中：
^ 原数 ^ 标准 ^ 数符(S) ^ 尾数(M) ^ 阶符 ^ 存储指数(E) ^ 完整二进制存储 ^
| $0.1011 \times 2^{011}$ | 教学模型 | +（存0）| 0.1011（存 `1011`）| +（存0）| 011（真实指数 3）| ``0 0 011 1011`` |
| $0.1011 \times 2^{011}$ | IEEE 754 | 0 | **1.011**（隐含前导1，存 `011`）| 无 | 10000010（3+127=130）| ``0 10000010 01100000000000000000000`` |
====== 浮点数加减运算过程 ======
对阶(小阶向大阶靠齐) -> 尾数计算 -> 结果格式化
计算：$0.101 \times 2^{001} + 0.110 \times 2^{011}$
第一步：对阶
第一个数指数是 001（1），第二个数指数是 011（3），阶差 = 3 - 1 = 2。
小阶向大阶靠齐，第一个数尾数右移 2 位：
0.101 >> 2 = 0.00101
对阶后：
$0.00101 × 2^{011}$
$0.110 × 2^{011}$
第二步：尾数相加
0.00101
+ 0.11000（补0对齐）
---------
0.11101
第三步：结果格式化
尾数 0.11101 整数位为 0，最高位为 1，已经是规格化纯小数，无需调整。
最终结果：$0.11101 × 2^{011}$
验证：
$0.101 × 2^1 = 0.625 × 2 = 1.25$
$0.110 × 2^3 = 0.75 × 8 = 6$
$1.25 + 6 = 7.25$
$0.11101 × 2^3 = 0.90625 × 8 = 7.25 $
====== 浮点数转二进制(存疑) ======
转分数形式 -> 分子转二进制 -> 分子部分尾数右移 -> 添加符号位 -> 补足位数
计算：-13.625
第一步：转分数形式
13.625 = 109/8
分子：109，分母：8（分母为 2^n）
第二步：分子转二进制
109 ÷ 2 = 54 余 1
54 ÷ 2 = 27 余 0
27 ÷ 2 = 13 余 1
13 ÷ 2 = 6 余 1
6 ÷ 2 = 3 余 0
3 ÷ 2 = 1 余 1
1 ÷ 2 = 0 余 1
109₁₀ = 1101101₂
第三步：除以分母（右移 n 位）
分母 8 = 2³，分子右移 3 位
1101101₂ 右移 3 位 = 1101.101₂
规格化成教学模型格式（尾数为纯小数）：
1101.101 = 0.1101101 × 2⁴
第四步：填入教学模型公式 N = 数符 × 尾数 × 2^{阶符 × 阶码}
数符：-（负号）
尾数：0.1101101
阶符：+（指数为正）
阶码：100（指数为4）
第五步：补足位数（假设8位存储：1位数符 + 1位阶符 + 3位阶码 + 3位尾数）
数符：1（负）
阶符：0（正）
阶码：100
尾数：110（只存小数部分，截断到3位）
完整存储：1 0 100 110
====== 逻辑运算规则 ======
* 逻辑或()